Méthode de construction des fonctions d'approximation nodales

Dans ce qui suit $\overrightarrow{\xi}$ est un vecteur de composantes $\xi,\eta,\zeta$

• On choisit une base polynomiale, par exemple :
  
  $$\langle P(\overrightarrow{\xi})\rangle = \langle 1\quad \xi \quad \eta \quad \zeta \rangle$$
  
  

• On cherche une approximation de la forme :
  
   

  $$u(\overrightarrow{\xi}) = \langle P(\overrightarrow{\xi})\rangle \{ a \}$$ (8.1)

  $$\mbox{exemple : } u(\overrightarrow{\xi}) = a_1 + a_2 \xi + a_3 \eta + a_4 \zeta$$

  
  

• On évalue la matrice nodale en écrivant que les valeurs nodales de u sont les valeurs prises par l'approximation aux noeuds de la discrétisation :
  
  $$\left\{ \begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \\ . \\ u_n \end{array} \... ...i_n) & P_2(\xi_n) & . & P_n(\xi_n) \end{array} \right] \{ a \}$$
  
  
  
  
  $$\{u\} = [P] \{a\}$$
  
  
  Exemple :
  
  $$\left\{ \begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4 \end{array}... ...\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \end{array} \right\}$$
  
  

• On inverse la matrice nodale (elle ne doit pas être singulière) :
  
   

  $$\{a\} = {[P]}^{-1} \{u\}$$ (8.2)

  
  

• On calcule alors les fonctions N : on veut que $u(\overrightarrow{\xi}) = \langle N(\overrightarrow{\xi})\rangle \{ u \}$ ; en utilisant 8.1, puis 8.2, on obtient :
  
   

  $$u(\overrightarrow{\xi}) = \langle P(\overrightarrow{\xi})\rangle \{ a \} = \langle P(\overrightarrow{\xi})\rangle {[P]}^{-1} \{u\}$$

  $$\mbox{c.a.d. } \langle N(\overrightarrow{\xi})\rangle = \langle P(\overrightarrow{\xi})\rangle {[P]}^{-1}$$ (8.3)

  
  

Exemple monodimensionnel :

$$\langle P(\xi)\rangle = \langle 1 \quad \xi \rangle \mbox{ ; ... ... = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right]$$

$${[P]}^{-1} = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{ar... ...e \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{array} \right]$$

$$\langle N \rangle = \langle 1-\xi \quad \xi \rangle$$

En multipliant 8.3 par [P] on obtient :

$$\langle N(\overrightarrow{\xi})\rangle [P] = \langle P(\overrightarrow{\xi})\rangle$$

c.a.d.

$$\sum_j N_j (\overrightarrow{\xi}) P_i (\overrightarrow{\xi_j}) = P_i (\overrightarrow{\xi})$$

On a ainsi :

$$\sum_j N_j(\overrightarrow{\xi}).1 = 1$$

$$\sum_j N_j(\overrightarrow{\xi}).\xi_j = \xi$$

$$\sum_j N_j(\overrightarrow{\xi}).\eta_j = \eta$$

Ces relations permettent de vérifier que les fonctions d'approximation forment bien une base polynomiale complète à l'ordre voulu.