Les fonctions d'approximation

Soit l'approximation polynomiale suivante :

$$u(\overrightarrow{x}) = \sum_i a_i P_i (\overrightarrow{x}) = \langle P \rangle \{a\}$$

Les fonctions P sont linéairement indépendantes. Il est plus courant de donner un sens aux coefficients a_i : on a une approximation nodale lorsque les a_i sont les valeurs de u en certains points géométriques appelés noeuds.

$$u(\overrightarrow{x}) = \sum_i a_i N_i (\overrightarrow{x}) = \langle N \rangle \{a\}$$

Pour que $u(\overrightarrow{x_i}) = u_i$ il faut que $N_j (\overrightarrow{x_i}) = \delta_{ij}$
La méthode des éléments finis utilise en général des approximations nodales par sous-domaines.
Exemple monodimensionnel :

 

Figure 6.1: Maillage 1D

dans E1	: N1 (x) = 1-x ; N2 (x) = x
	u = u(1)(1-x) + u(2)x
dans E2	: N1 (x) = 2-x ; N2 (x) = x-1
	u = u(2)(2-x) + u(3)(x-1)

On a trois numérotations :

• les numéros des éléments (E₁, E₂),
• les numéros locaux des noeuds dans chaque éléments (1, 2),
• les numéros globaux des noeuds sur l'ensemble du domaine ((1), (2), (3)).

La relation entre ces numérotations s'appelle la connectivité ; elle est représentée par le tableau suivant :

$$N_{global} = CONNEC(N_{local},N_{\acute{e}l\acute{e}ment})$$

Un maillage "éléments finis" est donc défini par deux tableaux :

• la connectivité
• les coordonnées des noeuds COOR(N_global,N_dim).

N_dim est la dimension de l'espace géométrique.
Illustration de l'approximation linéaire par élément :

 

Figure 6.2: u(x)=u₁ N₁ (x) + u₂ N₂ (x) +u₃ N₃ (x) + u₄ N₄ (x)

On notera que cette représentation d'un maillage sert aussi pour les maillages de volumes finis non structurés. Dans ce cas on utilise aussi une connectivité reliant les éléments et les faces ; elle se déduit de la connectivité reliant les éléments et les noeuds.