Equations de Navier-Stokes

On se place toujours dans le cadre des fluides incompressibles visqueux.

• Equation de conservation de la masse :
  
  $$div \, \overrightarrow{V} = 0$$
  
  

• Equation de conservation de la quantité de mouvement :
  
  $$\rho \frac{\partial \overrightarrow{V}}{\partial t} - \overri... ...rrow{V} + \overrightarrow{grad} \, P = \rho \overrightarrow{g}$$
  
  

• Si l'écoulement n'est pas isotherme, on ajoute l'équation de conservation de l'énergie, écrite avec la variable température :
  
  $$\rho C_p \frac{\partial T}{\partial t} - div \left( \lambda \... ... \left( \overrightarrow{V}.\overrightarrow{grad} \right) T = S$$
  
  

$\overrightarrow{V}$	: vitesse
P	: pression
T	: température
$\rho$	: masse volumique
$\mu$	: viscosité moléculaire
$\lambda$	: conductivité thermique
Cp	: chaleur spécifique à pression constante
$\overrightarrow{g}$	: gravité

Ce système d'équations ne présente pas, du point de vue de l'approximation par les éléments finis, de nouvelles difficultés. On retrouve, dans l'équation de la quantité de mouvement, le terme convectif $\rho \left( \overrightarrow{V}.\overrightarrow{grad} \right) \overrightarrow{V}$. La principale difficulté liée à ce terme est sa non linéarité qui implique l'utilisation d'algorithmes de résolution appropriés.
Le couplage entre les équations de quantité de mouvement et d'énergie est du aux variations de $\mu$, $\lambda$ et surtout $\rho$ en fonction de la température.
L'approximation de Boussinesq consiste à considérer que, dans le terme gravitaire, $\rho$ varie linéairement avec la température. Elle est notamment utilisée pour les problèmes de convection naturelle.