Problème de Stokes

Les équations du problème de Stokes régissent l'écoulement laminaire, isotherme, incompressible et stationnaire d'un fluide visqueux à viscosité constante pour lequel le terme de convection a été négligé. C'est un problème modèle pour l'étude de la discrétisation des équations de la mécanique des fluides.
On utilise la sommation sur les indices répétés.

• Equation de conservation de la masse :
  
   

  $$\frac{\partial V_b}{\partial x_b} = 0$$ (18.1)

  
  

• Equation de conservation de la quantité de mouvement :
  
   

  $$- \frac{\partial \tau_{ab}}{\partial x_b}$$ = 0 (18.2)

  $$\tau_{ab} \mu \left( \frac{\partial V_a}{\partial x_b} + \frac{\partial V_b}{\partial x_a} \right) - P\delta_{ab}$$ =

  
  

V est la vitesse (m/s), P est la pression (Pa) et $\mu$ est la viscosité moléculaire (kg/m.s).
On a un système à deux équations dont l'une est scalaire (18.1) et l'autre est vectorielle (18.2). On a deux inconnues, la pression qui est un scalaire et la vitesse qui est un vecteur.
Dans la suite de l'étude on ne retiendra que la partie symétrique du tenseur des contraintes $\tau$ car, $\mu$ étant constante et l'écoulement étant incompressible, on peut écrire :

 

$$\frac{\partial}{\partial x_b} \frac{\partial V_b}{\partial x_a} = \frac{\partial}{\partial x_a} \frac{\partial V_b}{\partial x_b} = 0$$

$$-\mu \frac{\partial}{\partial x_b} \frac{\partial V_a}{\partial x_b} + \frac{\partial P}{\partial x_a} = 0$$ (18.3)

L'application de la méthode des résidus pondérés aux équations 18.1 et 18.3 s'écrit :

 

$$\int_\Omega \frac{\partial V_b}{\partial x_b} \overline{P} d\Omega = 0$$ (18.4)

 

$$-\mu \int_\Omega \frac{\partial}{\partial x_b} \frac{\partial V_a... ...\Omega + \int_\Omega \frac{\partial P}{\partial x_a} \overline{V_a} d\Omega = 0$$ (18.5)

L'intégration par partie de 18.5 (formulation faible) s'écrit :

$$\begin{eqnarray*}\mu \int_\Omega \frac{\partial V_a}{\partial x_b} \frac{\partia... ...{V_a} d\Gamma = \int_\Gamma \tau_{ab} n_b \overline{V_a} d\Gamma \end{eqnarray*}$$

On a utilisé deux fonctions de pondération, la fonction de pondération scalaire $\overline{P}$ associée à l'équation scalaire 18.1 et la fonction de pondération vectorielle $\overline{V_a}$ associée à l'équation vectorielle 18.3.
L'intégration par partie porte sur le terme diffusif et sur le gradient de pression.
L'analyse des contraintes de continuité montre qu'il faut utiliser des fonctions d'approximation continues, polynomiale d'ordre au moins égal à un pour la vitesse et sa fonction de pondération. Il n'y a pas de contrainte particulière concernant la pression et sa fonction de pondération.
Cela nous conduit au choix suivant : l'approximation de la vitesse, ou plus précisemment de chaque composante de la vitesse, est la même que celle utilisée pour la fonction u de l'équation de Poisson ; l'approximation de la pression est obtenue en utilisant la projection élémentaire, c.a.d par les fonctions discontinues et constantes par élément.
L'approximation choisie pour $\overline{P}$ permet de vérifier la conservation de la masse au niveau de chaque élément. En effet, les fonctions de la procjection élémentaire sont telles qu'elles valent 1 dans l'élément auquel elles sont associées et 0 dans les autres. 18.4 devient :

$$\begin{eqnarray*}\int_{\Omega_e} \frac{\partial V_b}{\partial x_b} d\Omega = 0 \mbox{ pour chaque \'el\'ement e} \end{eqnarray*}$$

Commentaire :

$$\int_\Omega \frac{\partial V_a}{\partial x_a} \overline{P} d\Omega = 0 \quad \forall \overline{P}$$

Le choix d'une base de fonctions constantes par élément pour $\overline{P}$ conduit à :

$$\int_\Omega \frac{\partial V_a}{\partial x_a} \psi_e d\Omega = 0 \mbox{ pour tout e}$$

La discrétisation du domaine $\Omega$ donne :

$$\sum_f \int_{\Omega_f} \frac{\partial V_a}{\partial x_a} \psi_e d\Omega = 0 \mbox{ pour tout e}$$

Comme, par définition de la base on a $\psi_e (\Omega_f) = \delta_{ef}$, on obtient :

$$\int_{\Omega_e} \frac{\partial V_a}{\partial x_a} d\Omega = 0 \mbox{ pour tout e}$$

Ce choix de fonctions de pondération est égalemment celui qui est fait pour obtenir une formulation "volumes finis" :

$$\int_\Omega div(- k \overrightarrow{grad}T + \overrightarrow{V}T)\overline{T} d\Omega = 0 \quad \forall \overline{T}$$

devient :

$$\int_{\Omega_e} div(- k \overrightarrow{grad}T + \overrightarrow{V}T) d\Omega = 0 \mbox{ pour tout e}$$

et en utilisant le théorème de la divergence on obtient le bilan des flux sur les faces des volumes :

$$\int_{\Gamma_e} (- k \overrightarrow{grad}T + \overrightarrow{V}T).\overrightarrow{n} d\Gamma = 0 \mbox{ pour tout e}$$

La discrétisation fait apparaitre les matrices élémentaires suivantes :

$$A^e_{ij} = \mu \int_{\Omega_e} \frac{\partial N_i}{\partial x_b} \frac{\partial N_j}{\partial x_b} d\Omega$$

$$B^e_{ai} = - \int_{\Omega_e} \frac{\partial N_i}{\partial x_a} d\Omega \mbox{ matrice gradient/divergence}$$

On peut alors écrire le système algébrique suivant :

$$\left( \begin{array}{cccc} A & 0 & 0 & B_x \\ 0 & A & 0 & B_... ...{ \begin{array}{c} R_x \\ R_y \\ R_z \\ 0 \end{array} \right\}$$

ou encore, afin de faire apparaitre l'assemblage :

$$\sum_e \left( A^e_{ij} V_{aj} + B^e_{ai} P^e \right) = \sum_e R^e_{ai}$$

pour tout a = x,y,z.
Les conditions aux limites associées aux équations du problème de Stokes (elles sont aussi valable pour les équations de Navier-Stokes) sont :

• Conditions de Dirichlet : composantes de la vitesse imposées.
• Condition de Neumann : $\tau_{ab}n_b$ imposé (il s'agit d'une force).

Il est plus commode d'exprimer les conditions aux limites dans les repères locaux associés aux frontières un utilisant les rotations permettant de passer du repère général (x, y, z) aux repères locaux dits "tangent-normal" (t₁, t₂, n) où t₁ et t₂ sont les tangentes à la frontière et n est la normale à la frontière dirigée vers l'extérieur du domaine. Dans le cas bidimensionnel, les conditions de Neumann s'écrivent alors :

• Condition associée à l'équation de V_n :
  
  $$\tau_{nn} = \mu \frac{\partial V_n}{\partial n} - P$$
  
  

• Condition associée à l'équation de V_t :
  
  $$\tau_{tn} = \mu \frac{\partial V_t}{\partial n} \mbox{ il s'agit du cisaillement}$$
  
  

Du point de vue de la mécanique des fluides une condition de glissement ou de symétrie s'écrit :

$$V_n = 0 \mbox{ et } \mu \frac{\partial V_t}{\partial n} = 0$$

et une condition de régime établi s'écrit :

$$\frac{\partial V_t}{\partial n} = \frac{\partial V_n}{\partial n} = 0 \longmapsto \tau_{nn}= -P \mbox{ et } \tau_{tn} = 0$$

On notera que la pression intervient dans les conditions aux limites par l'intermédiaire des conditions de Neumann portant sur la vitesse normale.