Modélisation de la turbulence

On se place dans le cas isotherme. Les équations de Navier-Stokes décriventl'évolution des valeurs instantannées de la vitesse et de la pression. Lorsque le nombre de Reynolds ( $Re = \frac{\rho V L}{\mu}$, où L est une longueur caractéristique) est plus grand qu'une valeur critique (de l'ordre de 1000) l'écoulement devient turbulent, c.a.d. que la vitesse et la pression fluctuent rapidemment avec le temps. Il est rarement possible, dans le cas turbulent, de résoudre les équations des valeurs instantannées. On décompose alors les valeurs instantannées en valeurs moyennes et en fluctuations.

$$v = V + v' \quad ; \quad p = P + p'$$

On fait ensuite la moyenne des équations des valeurs instantannées pour obtenir les équations des valeurs moyennes. Celles-ci sont similaires aux équations de Navier-Stokes mais contiennent le terme supplémentaire suivant (dû au terme convectif) :

$$div ( \rho \overrightarrow{v'} \otimes \overrightarrow{v'} )$$

On relie ce terme aux quantités moyennes par la modélisation suivante :

$$\rho \overrightarrow{v'} \otimes \overrightarrow{v'} = - \mu_... ...\, \overrightarrow{V} + {grad}^T \, \overrightarrow{V} \right)$$

$\mu_T$ est la viscosité turbulente.
L'équation de la quantité de mouvement moyenne, appelée équation de Reynolds s'écrit :

$$\rho \frac{\partial \overrightarrow{V}}{\partial t} - \overri... ...rrow{V} + \overrightarrow{grad} \, P = \rho \overrightarrow{g}$$

La fermeture du système nécessite la détermination de $\mu_T$.
On utilise assez couramment le modèle $k-\epsilon$, qui consiste à relier $\mu_T$ à l'énergie cinétique de la turbulence (k) et à sa dissipation ($\epsilon$) pour lesquelles on peut établir les équations suivantes :

$$\rho \frac{\partial k}{\partial t} - div \left( \frac{\mu_T}{... ...arrow{V}.\overrightarrow{grad} \right) k = {\cal P} - \epsilon$$

$$\rho \frac{\partial \epsilon}{\partial t} - div \left( \frac{... ...psilon}{k} ( C_{\epsilon 1}{\cal P} - C_{\epsilon 2} \epsilon)$$

$${\cal P} = grad \, \overrightarrow{V} \left[ \mu_T \left( gra... ...rightarrow{V} + {grad}^T \, \overrightarrow{V} \right) \right]$$

$$\mu_T = C_{\mu} \frac{k^2}{\epsilon}$$

${\cal P}$ est la production d'énergie cinétique de la turbulence k.
Les quantités $C_{\mu}$, $\sigma_k$, $\sigma_{\epsilon}$, $C_{\epsilon 1}$ et $C_{\epsilon 2}$ sont les constantes du modèle $k-\epsilon$. Leurs valeurs sont $C_{\mu}=0.09$, $\sigma_k$=1.0, $\sigma_{\epsilon}=1.3$, $C_{\epsilon 1}=1.44$ et $C_{\epsilon 2}=1.92$
On notera que les équations de k et de $\epsilon$ sont des équations de diffusion-convection qui ne présentent pas de difficulté particulière en ce qui concerne leur discrétisation par éléments finis.
Par contre ces équations (quantité de mouvement moyenne, k, $\epsilon$) nécessitent des conditions aux limites spéciales sur les parois solides. Cette modélisation n'est en effet pas valable près des parois. On utilise la technique des lois de parois qui consiste, entre autre, à relier le cisaillement moyen à la vitesse moyenne par une loi analytique.
Soit $\tau$ le cisaillement moyen à la paroi, V_t la vitessse tangentielle moyenne à une distance y_p de la paroi, on définit la vitesse de frottement :

$$V^* = \sqrt{\frac{\tau}{\rho}}$$

Les lois de parois s'écrivent :

$$V_t = \frac{V^*}{\chi}\ln \left( \frac{E V^*}{\nu} y_p \right)$$

$$k = \frac{V^{*2}}{\sqrt{C_\mu}} \quad ; \quad \epsilon = \frac{V^{*3}}{\chi y_p}$$

Avec la constante de Von Karman $\chi=0.41$ et la rugosité E=9.
Ces lois sont valables pour $$\frac{y_p V^*}{\nu}$$ compris entre 100. et 1000.