Equations instationnaires

On considère l'équation suivante :

$$\begin{eqnarray*}\frac{\partial T}{\partial t} - \alpha \Delta T = S \\ \mbox{\it + conditions aux limites} \\ \mbox{\it + conditions initiales} \end{eqnarray*}$$

Le terme en temps est discrétisé par différences finies :

$$\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T^{n+1} - T^{n}}{\delta t}$$

La discrétisation spatiale par éléments finis de ce terme utilise la matrice de masse :

$$m^e_{ij} = \int_{\Omega_e} N_i N_j d\Omega$$

On obtient donc pour le terme en temps :

$$\frac{1}{\delta t} m^e_{ij} (T^{n+1}_j - T^{n}_j)$$

Après assemblage on obtient un système algébrique global de la forme :

$$\frac{1}{\delta t} [M] \{T^{n+1} - T^{n} \} + [A] \{T\} = \{S\}$$

Rappel : A contient le terme diffusif et les conditions aux limites de Cauchy (échange convectif), S contient la source et les conditions aux limites de Neumann (flux).
On a besoin d'un schéma de résolution en temps. On donne, à titre d'exemple, la forme générale du schéma d'Euler :

$$\left( \frac{1}{\delta t} [M] + \omega [A] \right) \{T^{n+1}\... ...t( \frac{1}{\delta t} [M] - (1 - \omega) [A] \right) \{T^{n}\}$$

$\omega$	= 0 $\longmapsto$ schéma explicite
$\omega$	$\geq$ $\frac{1}{2}$ $\longmapsto$ schéma implicite
$\omega$	= $\frac{1}{2}$ $\longmapsto$ schéma implicite de Crank-Nicholson d'ordre 2 en temps.