Application à l'équation de Poisson

La formulation intégrale est vraie $\forall \overline{u}$ (méthode des résidus pondérés), elle est donc vraie pour toutes les fonctions d'approximation N. Les fonctions N constituent une base de l'espace des fonctions u et $\overline{u}$.
Dans ce qui suit on utilise la sommation sur les indices répétés.

$$\begin{eqnarray*}\int_{\Omega_e} \frac{\partial u}{\partial x_a} \frac{\partial ... ...{\partial \xi_c} J^{-1}_{ac} det(J) d\hat{\Omega} = a^e_{ij} u_j \end{eqnarray*}$$

a^e est une matrice élémentaire.
Pour le second membre (terme source), si $f_{\Omega}$ est donné par noeud, on a :

$$\begin{eqnarray*}\int_{\Omega_e} f_\Omega \overline{u} d\Omega = f_{\Omega j} \i... ...t(J) d\hat{\Omega} = \\ m^e_{ij} f_{\Omega j} = F^e_{\Omega i} \end{eqnarray*}$$

m^e est une autre matrice élémentaire, $F^e_\Omega$ est un vecteur élémentaire.
si $f_{\Omega}$ est donné par élément, on a :

$$\begin{eqnarray*}\int_{\Omega_e} f_\Omega \overline{u} d\Omega = f^e_{\Omega} \i... ...} \int_{\hat{\Omega}} N_i det(J) d\hat{\Omega} = F^e_{\Omega i} \end{eqnarray*}$$

Remarque : On a utilisé deux projections discrètes différentes (par noeud ou par élément) pour la fonction connue $f_{\Omega}$. Il est important de noter que, lorsqu'on résoud un problème par discrétisation, toutes les informations doivent être projetées dans les espaces d'approximation utilisés. Si la fonction $f_{\Omega}$ est connue dans tout le domaine $\Omega$ (donnée analytique), et comme elle n'apparait pas dans une dérivée, on a le choix de la projeter soit dans l'espace des fonctions u (fonctions continues, projection nodale), soit dans l'espace des fonctions constantes par élément (fonctions discontinues, projection élémentaire). Le critère de choix dépend de la précision recherchée ; si la variation spatiale de la fonction est importante la projection nodale sera plus précise. Un autre critère doit être pris en compte, il s'agit du coût des calculs : la projection nodale demande plus d'opérations que la projection élémentaire. On verra plus loin une autre projection fréquemment rencontrée qui est liée à la méthode utilisée pour le calcul des intégrales.