Transformation des intégrales

$$\int_{\Omega_e} f(\overrightarrow{x}) dxdydz = \int_{\hat{\Om... ...rrightarrow{x}(\overrightarrow{\xi})] det(J) d\xi d\eta d\zeta$$

$\hat{\Omega}$ désigne l'élément de référence.
En effet on a : $d\Omega = (d\overrightarrow{x}\wedge d\overrightarrow{y}).d\overrightarrow{z}$, avec $d\overrightarrow{x}=dx.\overrightarrow{i}$, $d\overrightarrow{y}=dy.\overrightarrow{j}$, $d\overrightarrow{z}=dz.\overrightarrow{k}$, où $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$ sont les vecteurs unitaires d'un repère cartésien orthonormé.
Donc $d\Omega=dxdydz$
En exprimant $d\Omega$ dans l'espace de référence on a : $d\Omega = (d\overrightarrow{\xi}\wedge d\overrightarrow{\eta}).d\overrightarrow{\zeta}$, et comme :

$$\begin{eqnarray*}d\overrightarrow{\xi} = (J_{11}\overrightarrow{i} + J_{12}\over... ...i} + J_{32}\overrightarrow{j} + J_{33}\overrightarrow{k}) d\zeta \end{eqnarray*}$$

on en déduit que $d\Omega = det(J) d\xi d\eta d\zeta$.
Commentaire :

$$\begin{eqnarray*}dx = \frac{\partial x}{\partial \xi} d\xi + \frac{\partial x}{\... ...rtial \eta} d\eta + \frac{\partial z}{\partial \zeta} d\zeta \\ \end{eqnarray*}$$

Pour $\eta$ et $\zeta$ constants on a :

$$\begin{eqnarray*}dx = \frac{\partial x}{\partial \xi} d\xi \mbox{ ; } dy = \frac... ...l \xi} d\xi \mbox{ ; } dz = \frac{\partial z}{\partial \xi} d\xi \end{eqnarray*}$$

dx,dy,dz sont les composantes d'un vecteur pour lequel $\eta$ et $\zeta$ sont constants.
$d\overrightarrow{\xi}$ est un vecteur tangent à ($\eta$ et $\zeta$ constants), c'est à dire parallèle au vecteur précédent, il a donc les mêmes composantes :

$$\begin{eqnarray*}d\overrightarrow{\xi} = \left\{ \begin{array}{c} \frac{\partial... ...} \\ dx = J_{11} d\xi \\ dy = J_{12} d\xi \\ dz = J_{13} d\xi \end{eqnarray*}$$